Легендарний український голкіпер почав займатися футболом при ЖЕКу в команді «Чайка», звідки у 1983 році перейшов у дитячо-юнацьку школу «Динамо».
У мережі з'явився запис програми 1985 року, під час якого екс-нападник київського клубу Володимир Онищенко проводив відбір вихованців ДЮСШ «Динамо». Серед них був 10-річний Олександр Шовковський, який розповів про свої перші кроки у футболі.
«Спочатку, коли я прийшов в «Чайку», я був у запасі. Мене вважали найгіршим гравцем і всі сміялись з мене. З кожним днем я намагався все краще і краще ставитись до футболу і потрапив в основний склад», - поділився юний Шовковський.
Олександр Шовковський виступає за основну команду «Динамо» з 1993 року. Сашо, як його називають фани київського клубу, 14 разів вигравав чемпіонат України у складі киян, а також 11 разів здобував Кубок України.
Навесні 2016 року Олександр Шовковський став рекордсменом чемпіонату України за кількістю проведених матчів. Також легендарний голкіпер став рекордсменом серед українських футболістів за кількістю матчів у всіх у турнірах.
У грудні 2016 року у воротаря закінчується контракт з «Динамо». 41-річний Олександр Шовковський продовжувати угоду з клубом не планує.